牛顿曾经说过：“在数学中，最微小的误差也不能忽略。”我们平时学习数学，就应该有这种谨慎细心，一丝不苟的态度，严格要求自己，今后参加工作才能有对人民、对事业高度负责的精神。
56巧量对角线
初二年级的智力竞赛正在紧张地进行。只见主持人拎出一只铁皮箱子放到桌面上。“同学们，我这儿有一只长方体形状的箱子，还有一把卷尺，你能不能量出对角线AC的长度？”
小华立即举手抢答：“那不简单，把箱子打开，用卷尺量一量AC’多长就得了！”
主持人：“不行啊，你不见箱子上了锁，打不开呀！”
沉默了片刻。
小文举起了手：“量一量A’C’的长，再量一量AA’的长。因为角钱AC’的长了！”
主持人：“回答正确。我再提一个问题，如果不允许计算，只能量一次，能得到AC’的长度吗？”
怎么办呀？台下许多同学小声议论起来。这时候只见主持人轻轻地推了一下箱子。
有了！小明立刻要求作答：“先把箱子对准桌子的两条直角边，记下靠左面的一条底边的位置。再将箱子往左挪，正好挪过一个箱子的宽度，从桌子顶角M量到箱子挪好以后的端点N上，这个量得的长度即为箱子对角线的长度。”
全场一片掌声！
主持人：漂亮极了。同学们在学习平面几何的时候为了证题，不是常常添置辅助线吗？刚刚解这个问题时移动了箱子，可以理解为添加了一个辅助长方体，是把平面几何的方法类推到空间来，这个方法今后学习立体几何时就会派上用场。
57小欧拉智改羊圈
欧拉是数学史上着名的数学家，他在数论、几何学、天文数学、微积分等好几个数学的分支领域中都取得了出色的成就。不过，这个大数学家在孩提时代却一点也不讨老师的喜欢，他是一个被学校除了名的小学生。
事情是因为星星而引起的。当时，小欧拉在一个教会学校里读书。有一次，他向老师提问，天上有多少颗星星。老师是个神学的信徒，他不知道天上究竟有多少颗星，圣经上也没有回答过。
其实，天上的星星数不清，是无限的。我们的肉眼可见的星星也有几千颗。这个老师不懂装懂，回答欧拉说：“天上有多少颗星星，这无关紧要，只要知道天上的星星是上帝镶嵌上去的就够了。”
欧拉感到很奇怪：“天那么大，那么高，地上没有扶梯，上帝是怎么把星星一颗一颗镶嵌到一在幕上的呢？上帝亲自把它们一颗一颗地放在天幕，他为什么忘记了星星的数目呢？上帝会不会太粗心了呢？”
他向老师提出了心中的疑问，老师又一次被问住了，涨红了脸，不知如何回答才好。老师的心中顿时升起一股怒气，这不仅是因为一个才上学的孩子向老师问出了这样的问题，使老师下不了台，更主要的是，老师把上帝看得高于一切。
小欧拉居然责怪上帝为什么没有记住星星的数目，言外之意是对万能的上帝提出了怀疑。在老师的心目中，这可是个严重的问题。
在欧拉的年代，对上帝是绝对不能怀疑的，人们只能做思想的奴隶，绝对不允许自由思考。小欧拉没有与教会、与上帝“保持一致”，老师就让他离开学校回家。
但是，在小欧拉心中，上帝神圣的光环消失了。他想，上帝是个窝囊废，他怎么连天上的星星也记不住？他又想，上帝是个独裁者，连提出问题都成了罪。他又想，上帝也许是个别人编造出来的家伙，根本就不存在。
回家后无事，他就帮助爸爸放羊，成了一个牧童。他一面放羊，一面读书。他读的书中，有不少数学书。
爸爸的羊群渐渐增多了，达到了100只。原来的羊圈有点小了，爸爸决定建造一个新的羊圈。他用尺量出了一块长方形的土地，长40米，宽15米，他一算，面积正好是600平方米，平均每一头羊占地6平方米。正打算动工的时候，他发现他的材料只够围100米的篱笆，不够用。若要围成长40米，宽15米的羊圈，其周长将是110米（15+15+40+40=110）父亲感到很为难，若要按原计划建造，就要再添10米长的材料；要是缩小面积，每头羊的面积就会小于6平方米。
小欧拉却向父亲说，不用缩小羊圈，也不用担心每头羊的领地会小于原来的计划。他有办法。父亲不相信小欧拉会有办法，听了没有理他。小欧拉急了，大声说，只有稍稍移动一下羊圈的桩子就行了。
父亲听了直摇头，心想：“世界上哪有这样便宜的事情？”但是，小欧拉却坚持说，他一定能两全齐美。父亲终于同意让儿子试试看。
小欧拉见父亲同意了，站起身来，跑到准备动工的羊圈旁。他以一个木桩为中心，将原来的40米边长截短，缩短到25米。父亲着急了，说：“那怎么成呢？那怎么成呢？这个羊圈太小了，太小了。”小欧拉也不回答，跑到另一条边上，将原来15米的边长延长，又增加了10米，变成了25米。经这样一改，原来计划中的羊圈变成了一个25米边长的正方形。然后，小欧拉很自信地对爸爸说：“现在，篱笆也够了，面积也够了。”
父亲照着小欧拉设计的羊圈扎上了篱笆，100米长的篱笆真的够了，不多不少，全部用光。面积也足够了，而且还稍稍大了一些。父亲心里感到非常高兴。孩子比自己聪明，真会动脑筋，将来一定大有出息。
父亲感到，让这么聪明的孩子放羊实在是及可惜了。后来，他想办法让小欧拉认识了一个大数学家伯努利。通过这位数学家的推荐，1720年，小欧拉成了巴塞尔大学的大学生。这一年，小欧拉13岁，是这所大学最年轻的大学生。
58数学神童维纳的年龄
20世纪着名数学家诺伯特·维纳，从小就智力超常，三岁时就能读写，十四岁时就大学毕业了。几年后，他又通过了博士论文答辩，成为美国哈佛大学的科学博士。
在博士学位的授予仪式上，执行主席看到一脸稚气的维纳，颇为惊讶，于是就当面询问他的年龄。维纳不愧为数学神童，他的回答十分巧妙：“我今年岁数的立方是个四位数，岁数的四次方是个六位数，这两个数，刚好把十个数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9全都用上了，不重不漏。这意味着全体数字都向我俯首称臣，预祝我将来在数学领域里一定能干出一番惊天动地的大事业。”
维纳此言一出，四座皆惊，大家都被他的这道妙题深深地吸引住了。整个会场上的人，都在议论他的年龄问题。
其实这个问题不难解答，但是需要一点数字“灵感”。不难发现，21的立方是四位数，而22的立方已经是五位数了，所以维纳的年龄最多是21岁；同样道理，18的四次方是六位数，而17的四次方则是五位数了，所以维纳的年龄至少是18岁。这样，维纳的年龄只可能是18、19、20、21这四个数中的一个。
剩下的工作就是“一一筛选”了。20的立方是8000，有3个重复数字0，不合题意。同理，19的四次方等于130321，21的四次方等于194481，都不合题意。最后只剩下一个18，是不是正确答案呢？验算一下，18的立方等于5832，四次方等于104976，恰好“不重不漏”地用完了十个阿拉伯数字，多么完美的组合！
这个年仅18岁的少年博士，后来果然成就了一番大事业：他成为信息论的前驱和控制论的奠基人。
59没有来的举手
从前，山东省有个大军阀，在一次会议开始时想点点名，了解一下那些人来，那些人没来。可是，到会的人数比较多，点名很费事，于是这个不学无术的军阀就想了一个“办法”，他大声地叫道：
“没有来的人举手！”
他认为没有来的人总是少数，只要知道哪些人没来，来的人无需一一点名就明白了。到会的人面面相觑，都感到莫明其妙。
在数学中，集合是一个重要的基本概念。今天会议应到的人就构成一个集合。其中实到的人是应到的人的一部分。我们就把应到的人叫做“全集”，实到的人叫做它的“子集”。
未到的人也是应到的人的一部分，所以它也是一个子集。实到的人这个子集与未到的人这个子集正好是应到的人这个全集，我们把这两个子集叫做互补的集合。这个军阀为了了解“实到的人”这个子集，转而去了解这个子集的补集——未到的人的集合。这个方法是不错的。不过由于他脱离了实际，结果闹了个大笑话。
“补集”的思想在我们生活中是常用的。现在是什么时间了？3点差2分。这里不说2点58分，因为3点差2分比较简单明了。我们在电视和小说中也常看到，公安人员侦破案子时，总是逐一地把确证为不可能做案的嫌疑者排除掉，从而缩小嫌疑对象的范围，这里也用到补集的思想。
在小学，学习心算和速算时，补数的用途很多。进位的加法的口诀是“进一减补”，退位减法的口诀是“退一加补”。乘法速算用到补数的地方也不少。
9加1得10，9和1可以看成是互补的。仿此，97和3，999和1也是互补的。倒数关系以及初中学的相反数关系，也都可以理解为一种互补的关系。
在几何里，补角和余角，都是互补思想的运用。不过以直角为全集时，两个角的关系不叫互补，而叫互余罢了。
60蜜蜂的“语言”
语言和文字是人类交流思想的工具。聋哑人无法说话，只有用“手语”来代替。动物没有语言和文字，也只有用姿势和叫声来表达自己的感情。
蜜蜂是一种群居的昆虫，它有共同利用蜜源的习性。在探蜜和采蜜的过程中，需要传递信息。在千万年的实践中，蜜蜂创造了自己的“语言”。
蜜蜂在采集蜂蜜前，先得派出少数“侦察兵”去寻找开花泌蜜的植物群。当“侦察兵”发现花丛后，它得向群蜂表明花丛在何方？距离蜂巢有多远？不了解这些信息，群蜂是无法去采集的。于是，“侦察兵”们就以“舞蹈”的动作来表示食物所在的地方和距离，并引导蜂群前去采集。
在中学所学的坐标系中，除了直角坐标系以外，还有一种极坐标系。那就是先在平面上确定一条射线OX，这条线叫做极轴。如果平面上一点P与O点连线OP与极轴ox的夹角为α，且P点到O点的距离为ρ，那么我们就用（ρ，α）来表示P点的极坐标。这就告诉我们，只要知道某一个角度和距离，就可以确定某一点的位置。蜜蜂本能地运用极坐标的原理，通过舞蹈的动作，巧妙地表达出花丛与蜂巢的距离和方位。
蜜蜂跳的一种“8字形舞”不仅表示距离，而且还指明方向。在一定时间内“8字形舞”的圈数和腹部摆动的次数，就表示蜂巢到花丛的距离。如果以15秒钟作为计时单位，花丛距蜂巢越远，蜜蜂舞蹈的圆圈数就越少，直线爬行的时间就比较长，腹部摆动的次数就比较多。下表是在15秒钟内蜜蜂舞蹈的圈数和腹部摆动的次数以及蜂巢与花丛的距离表：
只知道距离是不够的蜜蜂在舞蹈时还利用太阳的角度来指示方向。“太阳角”就是以蜂巢为角的顶点，它相当于极坐标中的O点；向太阳方向的射线相当于极轴ox；向花丛方向的射线相当于OP。这时太阳方向与花丛方向就构成一个角（相当于a），这个角就标志着花丛的方向。
如果蜜蜂在舞蹈时，头朝上，从下往上跑直线，这就是说要向着太阳这个方向飞才能找到花丛，按照上述传递信息的方法，蜜蜂就可以根据指定的方向和距离，顺利地找到花丛。
61花砖铺设问题
随着人们生活水平的提高，许多人喜欢用装饰用的花砖来铺设地面，这在数学里是一门学问，叫做平面花砖铺设问题，也叫做镶嵌图案问题，即采用单一闭合图形拼合在一起来覆盖一个平面，而图形间没有空隙，也没有重叠。什么样的图形能够满足这样的条件？
我们先来研究正多边形。先看看正方形，这是大家熟悉的图形。很明显，正方形是可以覆盖一个平面的。
再来看看正三角形，正三角形也是可以覆盖一个平面的。
正六边形也是可以覆盖一个平面，这不仅早在古希腊时就为人们所确认，而且昆虫中的蜜蜂就是用正六边形来建造蜂巢的。
为什么正方形、正三角形、正六边形能够覆盖一个平面？因为过每一个正方形公共顶点的正方形有四个，每个正方形的每个内角为90°。
4个90°正好是360°。过每一个正三角形顶点可安排六个正三角形，每个内角60°，共为360°。同样，过每个正六边形顶点有三个正六边形，每个内角为120°，三个内角正好为360°，由此可知，要使正多边形能覆盖平面，必须要求这个正多边形的内角度数能整除360°。
