公元263年，魏晋时期的刘徽在《九章算术法》中，首创周“割圆术”去求圆周率。即通过不断倍增圆内接正多边形的边数来求圆周长的方法。刘徽从计算国内接正六边形开始（此时边长等于半径），再计算正12边形周长，即将圆周12等分，进而正24边形，正48边形，直算到正192边形，即将圆周192等分，用其周长去近似表示国的周长。并说：“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣。”这就是说，当圆内接正多边形边数无限增加时，这个正多边形的周长，就无限逼近圆的周长。这种“无限逼近”的思维方法正是近代数学基础的极限思维方式。这种极限思维方式，虽早在春秋时代庄子的书中就有了，但将这种极限思维用于解决数学问题，刘徽乃第一人。
刘徽计算圆内按正192边形求圆周率，可不是简单的事。当时计算工具还十分落后，要计算是用筹算，得拿一捆细的棍棒（称为算筹）摆弄半天才算得一个数。算圆内接正多边形的边数每翻一番，至少要进行7次运算。其中除了加减运算还要计算2次乘方和2次开方。刘徽算到正192边形，边数翻了5番，算出的圆周率为3．141024与3．142704之间。可想而知，用筹算进行超过六位小数的乘方运算及开方运算，这需要多么熟练的运算技巧，需要多么顽强的毅力。刘徽算出的圆周率，虽然精确度只是3．14，但他开创的“割圆术”，以及对许多数学问题独创性的见解，使他受到世人的赞誉。
3．祖冲之创造的世界纪录
公元5世纪中国南北朝时期，祖冲之“专政数术，搜练古今，博采沉奥”，成为我国古代最伟大的数学家、天文学家、机械学家。
祖冲之祖籍范阳遒（今河北省沫水县北）人，公元429年生于江南。他祖上几代人都研究历法，受家庭熏陶，祖冲之自幼便对数学和天文产生了浓厚的兴趣。他年轻时胸怀雄心壮志，学习非常刻苦勤奋，阅读和研究了有关天文、数学的大量著作，同时又注重实际观测。经过长期钻研磨练，终于成为杰出的学者。
祖冲之青年时代曾在刘宋政府的华林省从事研究工作，后升任南徐州（今镇江）从事史，继又赴建康（今南京）任公府参军，渴者什射（朝廷礼书官），长水校尉等职。祖冲之就在这“江南佳丽地，金陵帝王州”度过了他一生的主要时光。
祖冲之对世界最大的贡献就是对圆周率的研究。据《隋书·律历志》记载，祖冲之求得“以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，助教三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈肭二限之间。密率：圆径一百十三，圆周三百五十五；约率：圆径七圆周二十二。”这就是说，祖冲之求出的结果为：
3．1415926＜圆周率＜3．1415927
密率：355／113，约率：22／7这个精确到小数点后七位的圆周率，在当时是非常了不起的成就。这个世界级的精确度，由祖冲之创造，并由他保持了一千年，直到15世纪，才由中亚的阿尔·卡希打破，得到精确到小数16位的值。
在筹算的时代，祖冲之是怎样求出精确到7位小数的圆周率值呢？说来真是遗憾。祖冲之写了一本非常优秀的数学著作《缀术》，其中包括了对国周率的研究及成果，以及其他的丰富内容，该书曾被唐国子监和朝鲜、日本用做算术课本。但隋唐时“学官莫能究其深奥，是故废而不理”。这就是说，在隋唐那个重文轻理的时代，当官的多不懂数学，祖冲之著的《馈术》，他们根本就看不懂，因此当废物弃之。到了北宋的1084年刻印各种算经时就找不见《缀术》，失传了。这不能不说是世界数学史上的重大损失。因此，祖冲之到底怎样算出圆周率值的，也就成了千古之谜。
后世数学家也多有研究这千古之谜的，总想探求祖冲之求圆周率的方法。若祖冲之是在前人成就的基础上，用“割圆术”去求圆周率，那么从圆内按正六边形开始，要将其边数翻11番，算到圆内接正12288边形，才能得到这样精确度的值。若用密率355／133作为圆周率，计算一个直径10公里的圆周长，结果只比真值还不大到3毫米。从这我们可以看到，祖冲之在求圆周率时的艰辛，以及所求圆周率的精确程度。我国自汉代便存在着“连分数术”。近代多有人认为祖冲之是用此法求的圆周率。但当时只能用筹算去算数，按精确到小数点7位去计算，那么，小数至少要保留12位，而12位小数的一次乘方和开方，就决非易事。无论他采用何种方法，在当时的条件下，祖冲之能算出精确到七位小数的圆周率是多么的不容易。正是这不容易，才构成了祖冲之的伟大，才使中国的数学在全世界独领风骚1000年。
祖冲之成为中华民族的骄傲，人们将它的“密率”称为“祖率”。人类为了纪念这位数学家，将月球背面发现的一个环形山谷，命名为“祖冲之山谷”。
4．π值的近代计算
祖冲之之后的许多数学家，也对圆周率进行过研究，但都不如所他求的值精确，直到一千年后，由中亚的阿尔·卡希得到精确度为小数16位的圆周率。而此时已经有阿拉伯数字进行笔算。17世纪，瓦里斯给出了圆周率的有理式或极限形式。范瑟朗给出精确到35位小数的圆周率。1853年，番克斯计算π值，精确度达到小数607对位。
电子计算机出现以后，π的计算工作有了更大进展。1949年美国赖脱威逊用ENIAE计算机工作70小时求得π的2034位小数值。1973两位法国女数学家利用7600CDC型电子计算机得到100万位小数的π值。1983年计算到16777216位小数。现在有人已计算到上亿位，甚至10亿位。
在π的近似值的“马拉松”式的计算竞赛中，一直没有发现任何循环的现象。希望π是有理数的期望渐渐暗淡了，直到1761年德国数学家兰伯特征明了π是无理数。1882年，德国数学家林德曼借助于e（上标iπ）＝－1证明了π是一个超越数。
为了实际计算的需要，这是π值计算的初衷，因为许多场合涉及到圆周率。但是，计算π的意义并不是单纯为了实际计算的需要，就近代科学所需要的精密度来说，即使需要几十亿分之一的精确度，也只不过需要用到π的10位小数就足够了。而关于π值多位数的计算却发现了它有许多迷人的性质。π的理论和性质可以有各种各样，它是一个深深的丰富的宝地，几千年来一直引起人们的极大兴趣，并且现在和将来还有人在不断地研究。
平方数之谜
一般，小学生就知道平方数，2（上标2）＝4，3（上标2）＝9，非常简单。可是现在许多与平方数有关的问题还在困扰着数学家。
17世纪法国数学家费马，本人原是律师，研究数学只是业余爱好。可是他的这种业余爱好，使他成为17世纪欧洲最重要的数学家之一。费马还有一个特点，他对数学规律的发现，大多数都是以猜想的形式提出的。也就是说，他只管提出结论，不管证明。
费马提出许多有关平方数的问题，下面介绍几个：
（1）1640年12月25田费马在给神父梅森的信中提出：一个形如4n＋1的素数都可以表示成两个平方数之和。比如，5＝4＋1，13＝9＋4，17＝16＋1，29＝25＋4等等。
当然，费马对这个结果没有给出证明。100多年以后，瑞士数学家欧拉才结出了证明，并进一步证明了这种表达是惟一的。
（2）一个形如4n＋1的素数，把它作为整数边直角三角形的斜边的机会只有一次。比如5，把它作为斜边，只有5（上标2）＝3（上标2）＋4（上标2）这样一种可能。如果把4n＋1的素数平方，那么它作为斜边的机会就增加为两次；把它3次方之后就有3次等等。比如5，5的平方是25，而25（上标2）＝15（上标2）＋20（上标2）＝7（上标2）＋24（上标2）；5的立方是125，而125（上标2）＝75（上标2）＋100（上标2）＝35（上标2）＋120（上标2）＝44（上标2）＋117（上标2）。这个问题后来也得到了解决。
（3）整数边直角三角形的面积不能是一个平方数。比如边长为3、4、5的直角三角形，它的面积是6个平方单位，而6不是一个平方数。
这个问题由法国数学家拉格朗日证明是对的。
但是有关平方数的问题很多，并不是都解决了。1770年英国数学家华林推测：每一个正整数都可以表示成4个平方数之和，9个3次方数之和，19个4次方数之和。
华林推测的第一部分，即每一个正整数都可以表示成4个平方数之和，提出不久被法国数学家拉格朗日证明了。
按照华林的想法，上面推测可以推广到更一般的形式：
对每个自然数是κ＞1，存在一个常数S（κ），使每一个自然数可以表示为至多：S（κ）个（自然数）的κ次方的和。
比如，k＝2，s（κ）＝4，即对手每一个自然数都可以表示为至多4个2次方的和；κ＝4，s（4）＝19，意思是对于每一个自然数都可以表示为至多19个4次方的和。
这个问题的证明十分困难，使得数学家不知从何处下手。经过了很长时间的探索，1909年，德国著名数学家希尔伯特成功地证明了这个问题。英国数学家哈代称赞希尔伯特的工作是“现代数论的一座里程碑”。
但是，华林问题并没有全部解决。希尔伯特只是证明了：S（κ）的存在性，并没有给出确定S（κ）最小值的方法和数值。我们把s（κ）的最小值记为g（κ），按照华林的猜测，g（2）＝4，g（3）＝9，g（4）＝19。
华林问题还没有完全解决，有人又从另一方面提出新的问题。保罗·图兰提出，什么样的正整数可以表示成两两互质的4个整数的平方和？他之所以这样提问题，是因为他确实发现了有不能表示的正整数。比如，他证明了形如8n的正整数8、16、32等等就不能；他又证明了形如6n＋5的数11、17、23等等也不能。那么，究竟哪些数能表示呢？这个问题还在探讨中。
保罗·图兰还猜测，任何一个正整数都可以表示成两两互质的整数的平方和，其个数最多是5个。但是对于足够大的所有整数，能表示成恰好5个两两互质的平方数之和吗？至今也没得到肯定的证明。
华林推测，每一个正整数是9个立方数之和。有人嫌9个太多，提出每一个正整数能否表示成4个立方数之和？研究的结果表明，对于所有的正整数是做不到的。可是，除了形如9n±4的数以外，其他的数都可以做到。
有人又提出：每一个整数能否表示成4个立方数之和，并且其中有两个是一样的？也就是说，每一个整数能表示成x（上标3）＋y（上标3）＋2z（上标3）吗？这个问题对于许多数都没有解决，比如76、148、183、230、253等都不知道能否表示。
看来，这一个个“不知道”正等待着你来回答。
孪生质数之谜
一胎所生的哥俩叫孪生兄弟。你可知道，质数也有孪生的。数学上把相差为2的两个质数叫“孪生质数”或“双生质数”。
孪生质数并不少见，3和5，5和7，11和13，17和19，25和31等等都是孪生质数，再大一点的有101和103，1116957和10016959，还有1000000007和1000000009。数学家做过统计：
小于100000的自然数中有1224对孪生质数；
小于1000000的自然数中有8164对孪生质数；
小于33000000的自然数中有152892对孪生质数。
现在利用电子计算机找到的孪生质数已经是“天文数字”了，比如1159142985×2（上标2304）＋1和1159142985×2（上标2304）－1。孪生质数会不会有无穷多对呢？这个问题吸引了许多人去研究，但至今没有解决。早在20世纪初，德国数学家兰道就推测孪生质数有无穷多对。许多事实也都支持兰道的猜想，可是一直就证明不出来。1919年，数学家布隆想出一个“妙招”，他去求所有孪生质数3和5、5和7、11和13……的倒数和，设这个和为B，有：
B＝（1／3＋1／5）＋（1／5＋1／7）＋（1／11＋1／13）＋……
布隆想，如果能证明B比任何数都大，也就证明了孪生质数有无穷多对！这确实是一个很巧的方法。遗憾的是事与愿违，布隆证了半天，却证明出B一定是个有限数。看来布隆的道路走不通。后来人们就把B叫做“布隆常数”，并算出B＝1．90216054……
布隆证明“孪生质数有无穷多对”虽然失败了，但他却证明了另一个有趣的结论：对于任一个整数m，都可以找到m个相邻的质数，其中没有孪生质数。
“孪生质数有无穷多对”这个猜想至今仍是一个未解之谜，目前最好的结果是我国数学家陈景润得到的，他于1966年证明了：有无穷多个质数P，能使P＋2最多含有两个质数因子。
证明不了孪生质数是否有无穷多对，数学家就转而“攻击”另一个问题：孪生质数的分布情况。他们发现在1000以内有35对孪生质数；在10000以内有205对；在1亿以内有440312对。看来还真不算少。但是，孪生质数分布的一般规律至今还没有找到！
从孪生质数数学家又想到三生质数。如果三个质数A、B、C，其中B比A多2，而C又比B多4，那么质数A、B、C就叫做三生质数。比如5、7、11；11、13、17；17、19、23；101、103、107；10014491、10014493、10014497都是三生质数组。
三生质数组会不会有无穷多组呢？和孪生质数一样，这个问题至今也仍然是一个谜。
素数定理之谜
从乘法运算来看，素数应当是最简单的、最基本的。可是直到现在人们对于素数分布的规律仍然知之甚少，在这个领域内充满着问题与猜测。岁月流逝，问题依然，素数似乎是永恒的谜。其中素数定理之谜，就更是这一问题中的核心问题。
这里用π（χ）表示不超过（正实数）X的素数的个数，例如
π（10．5）＝4不超过10．5的素数有4个：2，3，5，7。
当x趋于无穷时，π（x）也趋于无穷。但是π（x），也就是不超过x的素数个数大概有多大呢？它与x的大小有怎样的关系？这都是很难的问题，也是一个很重要的问题，是素数分布理论的中心问题。
1881年，英国数学家西尔维斯特发表了悲观的评论说：“我们或许要等待世界上产生这样一个人，他的智慧与洞察力像契贝谢夫一样，证明自己超人一等。”
当他说这段话时，他并不知道解决这个问题的数学家阿达玛等人已经诞生。他也没有注意到二十多年以前，也就是1859年，法国卓越的数学家黎曼已经在一篇文章中提供了解决这个问题的钥匙。
1896年，法国数学家阿达玛与德·拉·瓦利普松同时、独立地证明了素数定理。他们的证明都利用了黎曼1859年的那篇论文中的思想，利用了复变函数的理论。
又过了五十多年，挪威数学家塞尔贝格与匈牙利数学家厄尔多斯在1948年找到了不利用复变函数理论的“初等证明”。
