第18章数学类发现(2)

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“勾三股四弦必五”，这是世人都很熟悉的一条定理，这条定理就是勾股定理。勾股定理反映了自然界基本归律的一条重要结论。虽然看似十分简单，但它在数学发展中却起着重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用。勾股定理的发现、验证和应用有着悠久的历史，也都蕴含着丰富的文化价值。

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1.勾股定理究竟是什么呢？

直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方，在我国，把这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理。教科书中则是这样描述的：如果直角三角形两直角边分别为a和b，斜边为c，那么a2＋b2＝c2；即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。而如果三角形的三条边a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形，这称为勾股定理的逆定理。

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关于几何，人们很早前就对它有不少的研究。当然，被誉为“几何学中的明珠”的勾股定理也不例外。世界上的几大文明古国，几乎都从很早时候起就已经熟悉这个现象。

考古学家们曾经发掘出古巴比伦人的几块泥板书，大约完成于公元前2000年左右。其中一块上面刻有这样的问题：“一根长度为 30个单位的棍子直立在墙上，当其上端滑下6个单位时，请问其下端离开墙角有多远？”这是一个三边比例为3∶4∶5的三角形的特殊例子；考古专家们在另一块泥板上还发现一个奇特的数表，表中共刻有4列15行数字，经专家们仔细辨认，发现这是一个勾股数表：最右边一列为从1到15的序号，而左边3列则分别是股、勾、弦的数值，一共记载着15组勾股数。

勾股定理在印度的起源也非常早，在他们古代的书中曾经有这样一个作图的题目，要求作一个正方形是另两个正方形之和，并且也给出了作图的解释，专家们经过研究认为，这是印度对勾股定理的证明。而印度人在对这个定理的应用方面也同样十分出色，在印度数学家婆什伽罗（1114-1185）所著的《丽罗娃提》一书中，就有许多关于勾股定理的应用问题。

而在我国古代也曾经有过类似的记载。据说在公元前4000年前，夏朝的大禹就曾在治理洪水的过程中利用勾股定理来测量两地的地势差。

在我国最早的一部数学著作《周髀算经》中，曾经讲述了这样一个小故事：

周公姬旦对古代伏羲（我国古籍中记载的最早的王）通过测量天地而制定历法的事情感到不可思议，就去请教精通数学的名叫商高的人，问他数学知识从何而来。商高回答说，数的产生是来源于对圆形和方形的研究，圆形是由方形产生的，而方形又是由折成直角的矩尺产生的，而对矩形的研究则要熟悉九九口诀。设想把一个矩形沿对角线切开，使得短直角边（勾）的长为3，长直角边（股）的长为4，那么斜边（弦）的长则为5。这个原理是从大禹治水的时候总结出来的。商高所说的正是勾股定理。

到了1世纪，我国数学著作《九章算术》中也记载了一种求整勾股数组的法则。中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。

对于勾股定理的证明，希腊数学家毕达哥拉斯的证明方法一般被理解为是剖分式证明法，但他的证明方法已无从考证。然而西方世界已经普遍认为，勾股定理来源于毕达哥拉斯证明的一个几何基本原理--毕达哥拉斯树，因此，勾股定理又被称为毕达哥拉斯定理或毕氏定理。

到了科技发达的现代社会，勾股定理依然表现着它的重要性。它不仅在数学方面继续让人们为之深入研究，而且还被应用到其他领域相关数据的测算当中，甚至在宇宙探索方面它也将发挥作用。科学家们一直都在探索与寻找外星智慧生物，而如何与他们建立联系就成为了难题，我国著名的数学家华罗庚（1910-1985）就曾经建议，让宇宙飞船带上几个数学图形飞到宇宙空间去，其中一个图形就是边长为3∶4∶5的直角三角形。很早以前发现的勾股定理，现在我们期待着它在探索宇宙奥秘的过程中能够发挥作用。

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2.勾股定理的证明是奇妙而吸引人的，那么它最早的证明者又是谁呢？

西方世界认为，古希腊的著名数学家毕达哥拉斯（前572-前497）是勾股定理的最早证明者。

毕达哥拉斯出生在爱琴海中的萨摩斯岛（今希腊东部小岛）。他从小就聪明好学，几何学、自然哲学、诗歌、音乐，可谓无所不学。他曾经十分向往东方智慧，甚至不惜长途跋涉，来到东方学习。公元前520年左右，他移居意大利的西西里岛，并在那里建立了一个宗教、政治、学术三合一的组织，称为毕达哥拉斯学派。

但在中国，我们认为最早对勾股定理进行证明的人，是我国古代的数学家赵爽。

赵爽，又名婴，字君卿，生卒年不详，东汉末至三国时代吴国人，我国历史上著名的数学家与天文学家。他所作的《周髀算经注》中有一篇《勾股圆方图注》，这篇注文简练地总结了东汉时期勾股算术的重要成果，并对勾股定理进行新的证明，同时还提出了关于勾股弦三边及其和、差关系的20多个命题。他证明的主要依据是几何图形面积的换算关系。另外，赵爽还在《勾股圆方图注》中推导出二次方程和求根公式，并且在《日高图注》中利用几何图形面积关系，给出了重差术（汉代天文学家测量太阳高、远的方法）的证明。

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【勾股定理的证明热潮】

勾股定理在几何学中具有极大的魅力，它非常简单却又十分重要。因此，千百年来，人们纷纷想要利用自己的方法去证明它。这些证明的人里，有著名的数学家，也有业余的数学爱好者，有尊贵的国家要人，更有普通的百姓，甚至连国家总统也被它的魅力所吸引。

美国第20届总统詹姆士·加菲尔德（1831-1881）就曾经证明过勾股定理，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，还把这一证法称为“总统证法”。

1940年，曾经有过一本关于勾股定理的证明专辑，名为《毕达哥拉斯命题》。在这其中就收集了367种不同的证明方法。而实际上对勾股定理的证明还不仅仅这些，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已经有500多种，仅我国清末数学家华蘅芳（1833-1902）就提供了20多种精彩的证法。对勾股定理进行证明的热潮，是其他任何定理都无法比拟的。

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【勾股定理的别名】

勾股定理被称为“几何学的基石”，在世界各国，尤其是几个文明古国它都被广泛而深入地研究过，而这个定理的名称也可谓是五花八门。

我国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。我国古代数学家将直角三角形称为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，而斜边则称为弦，所以勾股定理在我国也被称为勾股弦定理。

而在法国和比利时，勾股定理又叫“驴桥定理”。这是因为当时的数学水平比较低，很多学习数学的人在遇到勾股问题的时候都会被卡住，认为它难以理解与接受。因此，这个定理被戏称为“驴桥”，意思为“笨蛋的难关”。

另外，世界上许多国家都称其为“毕达哥拉斯”定理。为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派还曾杀了100头牛来供奉神灵，因此这个定理又被称为“百牛定理”。

31.控制论与信息论

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控制论是研究各类系统的调节和控制规律的科学。它是自动控制、通讯技术、计算机科学、数理逻辑、神经生理学、统计力学、行为科学等多种科学技术相互渗透形成的一门学科。在控制论诞生后，美国数学家克劳德·香农在1948年发表了题为《通信的数学理论》的论文，成为现代信息论研究的开端。控制论和信息论是20世纪三四十年代发展起来的横向学科，是在总结了许多其他科学成就的基础上发展起来的，是人们认识事物、进行科学研究的重要方法论。

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1.控制论是如何诞生的？它的发现者是谁？

随着生产实践与学科发展的需要，控制论在实践中诞生了。

诺伯特·维纳（1894-1964），美国数学家，控制论发现者。他很聪明，11岁上大学，14岁考进哈佛大学研究生院学动物学，后又去学哲学，18岁时获得哈佛大学的数理逻辑博士学位。1913年，刚刚毕业的他又去欧洲向数学大师们学习数学。正是这样多种学科知识的积累，为他后来发现控制论打下了坚实的基础。1919年，他从统计物理方面萌发了控制论思想。第二次世界大战期间，他参加了美国研制防空火力自动控制系统的工作，提出了负反馈概念，对控制论的诞生起了决定性的作用。

1943年，他与别人合写了《行为、目的和目的论》的论文，首先提出了“控制论”这个概念，阐明了控制论的基本思想。同年底，生物学家、数学家、社会学家、经济学家在纽约召开会议，从各自角度对信息反馈问题发表意见。以后又连接举行这样的讨论会，对控制论的产生起了推动作用。1948年，维纳总结了有关成果，出版了奠基性著作《控制论》一书，宣告了控制论的诞生。

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20世纪40年代，由于自然科学、工程技术、社会科学和思维科学的相互渗透与交融汇流，产生了具有高度抽象性和广泛综合性的控制论和信息论。

控制论是多门科学综合的产物也是许多科学家共同合作的结晶。控制论的主要方法有控制方法、反馈方法、功能模拟方法、信息方法和黑箱方法等。控制论诞生后，得到了广泛地应用与迅猛地发展，大致经历了三个发展时期。

第一个时期为20世纪50年代，是经典控制论时期。这个时期的代表除了生物控制论外，有我国著名科学家钱学森1945年在美国发表的《工程控制论》。

第二个时期是20世纪60年代的现代控制论时期。导弹系统、人造恒星，生物系统研究的发展，使控制论的重点从单变量控制到多变量控制，从自动调节向最优控制，由线性系统向非线性系统转变。

第三时期是20世纪70年代后的大系统理论时期。控制论由工程控制论、生物控制论向经济控制论、社会控制论和人口控制论等发展。其中生物控制论又分化出神经控制论、医学控制论、人工智能研究和仿生学研究。社会控制论则把控制论应用于社会的生产管理、效能运输、电力网络、能源工程、环境保护、城市建议，以至社会决策等方面。

信息论是研究信息的产生、获取、变换、传输、存贮、处理识别及利用的学科。人们对于信息的认识和利用，从古代就开始实践了。中国古代用点火方式和古罗马地中海城市用悬挂灯笼的方式，它们都是传递信息的原始方式。随着社会生产的发展，科学技术的进步，人们对传递信息的要求急剧增加。1948年，美国数学家克劳德·香农发表《通信的数学理论》，1949年发表《噪声中的通信》，从而奠定了信息论的基础。

20世纪70年代以后，随着数学计算机的广泛应用和社会信息化的迅速发展，信息论正逐渐突破香农狭义信息论的范围，发展为一门不仅研究语法信息，而且研究语义信息和语用信息的科学。它的建立是人类认识的一个飞跃。信息论迅速渗透到各个不同的学科领域，但还不够完善。为了适应科学技术发展的需要，迎接信息化社会的到来，一门新的科学正在迅速兴起--信息科学。信息科学是由信息论、控制论、计算机、人工智能和系统论等相互渗透、相互结合而形成的一门新兴综合性学科。

控制论和信息论是现代信息技术的理论基础。它们具有十分重要的理论意义和实践意义，体现了现代科学整体化发展趋势，为现代科学技术提供了新的思路和科学方法。

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2.什么是黑箱方法，它指的是一只黑色的箱子里面有方法吗？

今天，人们在许多科学研究领域，都可以碰到“黑箱”这个概念，但它并不是指一只真正的黑色箱子，而是控制论中的一个重要概念。到底什么是“黑箱”呢？粗略地说，所谓黑箱是指它的内部构造和机理还不清楚，但可以通过外部观测和试验来认识它的功能和特征。作为一种近代科学方法，黑箱方法已越来越受到人们重视。

在日常生活中，人们都在自觉或不自觉地运用这种方法。比如说看电视，如果说看电视必须要懂得电视内部结构和工作原理才行，那能看电视的人就很少了。但是，人们虽然不懂得电视机内部构造和工作原理，却知道按哪个开关打开它，调整哪些开关可以得到清晰稳定的画面，什么情况是出了故障，等等。这些都是我们运用黑箱问题的方法的具体体现。